In fila per tre

closeQuesto articolo è stato pubblicato 11 anni 13 giorni fa. Nel frattempo potrei avere cambiato idea. Anzi, quasi sicuramente è accaduto così: tienine conto se pensi di commentare quanto ho scritto.

In fila per tre

Mi ricordo ancora quando, alle scuole elementari, la maestra ci spiegò come capire se un numero è divisibile per 2: se l’ultima cifra è pari, ossia se è 0, 2, 4, 6 oppure 8, il numero è divisibile, altrimenti no.
Mi era subito sembrata una regola ovvia: sommando in continuazione due posso ottenere, per le decine, le centinaia e così via, tutte le cifre che voglio, quindi posso tranquillamente ignorare tutte le cifre del numero tranne l’ultima.
Anche la divisibilità per 5 non mi sembrò difficile da comprendere: se l’ultima cifra è 0 oppure 5 il numero è divisibile, altrimenti no.
Poi la maestra ci spiegò come stabilire se un numero è divisibile per 3. Un numero è divisibile per 3 se lo è anche la somma di tutte le sue cifre.

Per funzionare, funziona: 567 (= 189×3) è divisibile per 3 e 5+6+7 = 18; 13705 non è divisibile per tre (13705 : 3 = 4568 con il resto di 1) e infatti 1+3+7+0+5 = 16.
Il problema è che a me tutto questo suonava misterioso e quasi magico.
Mi ricordo che immaginai la seguente scena. Un gruppo di matematici, tutti con una lunga barba bianca e lo sguardo spiritato, seduti intorno a un tavolo cercano una regola per la divisibilità per 3. Uno, quasi scherzando, dice «proviamo a sommare le cifre». Gli altri scoppiano a ridere e, per prendere in giro il collega, provano davvero a sommare le cifre di alcuni numeri, e scoprono che, dannazione, funziona! Provano con vari numeri e alla fine, dopo una giornata a fare somme, si arrendono: la regola è valida.

Non penso di aver esposto le mie perplessità alla maestra, che d’altra parte non riesco a immaginare cosa avrebbe potuto rispondermi.
Avrebbe potuto ricorrere al dogma: è così e basta, non fare domande. Oppure avrebbe potuto confondermi ancora di più le idee spiegandomi, ad esempio, la regola per capire se un numero è divisibile per 11: occorre vedere se la differenza tra la somma delle cifre pari e quella delle cifre dispari è un multiplo di 11 (16137 è divisibile per 11: (1+1+7)-(6+3) = 0). A questo punto non avrei più fatto domande.

Proseguendo gli studi non ho mai incontrato nessuno che mi fornisse una dimostrazione di questa cosa curiosa della divisibilità per 3, lasciandomi nel mistero più assoluto e, soprattutto, lasciandomi il dubbio che la scena immaginata anni prima non fosse poi così lontana dalla realtà: non si sa bene perché, ma funziona, e una regola che funziona ce la teniamo ben stretta!

Finalmente ho scoperto la verità. Se vi interessa, continuate a leggere.

Classi di resto modulo n

I filosofi amano ripetere che i matematici non inventano nulla, ma scoprono tutto. L’esempio preferito per confermare questa tesi è il Teorema di Pitagora. Basta però sfogliare altre pagine dei manuali di matematica per incontrare cose che anche il più platonico di filosofi faticherebbe a definire scoperte: le classi di resto modulo n sono, secondo me, tra queste (infatti si legge che la matematica modulare venne introdotta, a livello formale, da Gauss, mentre Pitagora ebbe la fortuna di scoprire l’omonimo teorema, ammesso che lo abbia poi davvero scoperto lui).

Prendiamo tutti i numeri (e quando scrivo tutti intendo proprio tutti i numeri) che divisi, ad esempio, per 3 danno resto 1. Chiamiamo questo insieme spropositato, che conterrà tra gli altri i numeri 1, 4, 7, 10, 13, 16 e così via, classe di resto 1 modulo 3, per gli amici [1]3.
È ovvio che [1]3 = [4]3 = [16]3, dal momento che 1 diviso 3 ha lo stesso resto di 4 diviso 3 e di 16 diviso 3. Viceversa, [1]3 ≠ [2]3.

Adesso accadono due cose curiose.
Innanzitutto, omettendo per praticità quel fastidioso 3 miniaturizzato, [1]+[2] = [1+2] e [1]x[2] = [1×2].
La classe della somma di due numeri è uguale alla somma delle loro classi, e lo stesso vale per la moltiplicazione.

Inoltre, se, come nel nostro caso, [1] = [16] e [2] = [32], allora [1+2] = [16+32] e [1×2] = [16×32].
In poche parole, la classe alla quale appartiene la somma o della moltiplicazione di due numeri non cambia se sostituisco i due numeri con dei loro equivalenti. Il resto della divisione per 3 di 1×2 è uguale al resto di 16×32 o di 14587×2285.
Detto in parole ancora più semplici: io posso sostituire il numero tra parentesi quadre con quello più comodo per i miei calcoli, purché appartenga alla stessa classe.

La prova

Prendiamo un numero qualsiasi, diciamo 9423.
Per sapere se questo numero è divisibile per 3 mi scoprire se il suo resto è 0, ossia se [9423]=[0].

9423 è uguale a 9000+400+20+3, cioè (9x10x10x10)+(4x10x10)+(2×10)+3.
Quindi [9423] = [9]x[10]x[10]x[10]+[4]x[10]x[10]+[2]x[10]+[3].
Essendo [10]=[1], per la divisibilità per 3 posso ignorare tutti quei [10], che equivalgono a [1] e moltiplicare per 1 non è mai servito a molto:
[9]x[10]x[10]x[10]+[4]x[10]x[10]+[2]x[10]+[3].
[9423] è quindi uguale a [9]+[4]+[2]+[3] = [18] = [10]+[8] = [1]+[8] = [9] = [0].

9 pensieri su “In fila per tre

  1. A me la maestra, per andare sul sicuro, non ha mai spiegato che questo era il metodo per capire se un numero era divisibile per tre. Difatti l’ho scoperto leggendo il post.
    Non è mai troppo tardi.
    😀

  2. Valerio: grazie 😉

    capemaster: non ero il solo, quindi!

    hertz: mi sembra che tu sia sopravvissuto ugualmente 🙂

    galatea: mi sa che la tua maestra era un po’ vigliacca! (comunque sì, non è mai troppo tardi: magari un giorno spiegherò anche la storia della divisibilità per 11 o quella per 7 che è ancora più incasinata!).

  3. Molto, molto affascinante 🙂
    Direi che ad una facoltà universitaria prettamente matematica sicuramente queste cose le spiegherebbero pure..

  4. Uh, hai scoperto l’aritmetica modulare! Magari diventi un moderno Galois… non quello delle sigarette, naturalmente!
    Benvenuto nella teoria dei numeri! Se vuoi posso proporti altri giochetti parecchio divertenti…

  5. Uh, hai scoperto l’aritmetica modulare! Magari mi diventi un moderno Galois … (non quello delle sigarette naturalmente!).

    Se cerchi altri giochetti simili, te ne posso fornire parecchi! Intanto, benvenuto nel rutilante mondo della teoria dei numeri!

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