Mostra e dimostra

closeQuesto articolo è stato pubblicato 11 anni 7 mesi 10 giorni fa. Nel frattempo potrei avere cambiato idea. Anzi, quasi sicuramente è accaduto così: tienine conto se pensi di commentare quanto ho scritto.

Quando si vuole dimostrare l’esistenza delle idee, si ricorre quasi sempre al teorema di Pitagora. Il ragionamento, grosso modo e in forma vagamente sillogistica, è il seguente: il teorema di Pitagora è sempre vero, anche se si pensa ad altro o se si crede nella sua falsità; il teorema di Pitagora è sempre vero, anche senza registrazioni su un supporto fisico; ciò che esiste indipendentemente dal pensiero ha realtà oggettiva; ciò che esiste indipendentemente da ogni supporto fisico è ideale; il teorema di Pitagora è quindi oggettivo e ideale; il teorema di Pitagora è una idea in senso platonico.

Tutto corretto. Ma il discorso si esaurisce qui? Immaginiamo una lezione di geometria.

Teorema di PitagoraProfessore: Cari ragazzi, oggi vedremo la dimostrazione del teorema di Pitagora. Vi ricordo il teorema: in un triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Traccia un disegno alla lavagna.
In parole povere a + b = c.
Prima di iniziare la dimostrazione vera e propria, vi voglio ricordare che l’area di un triangolo è uguale a base per altezza diviso due, e quindi che l’area di un triangolo è esattamente la metà di quella di un parallelepipedo con base e altezza identiche. Tutto chiaro?

Studenti, in coro: Sì.

Dimostrazione del teorema di PitagoraMaestro: Molto bene, allora iniziamo.
Traccia un secondo disegno alla lavagna.
Il quadrato AHCI e il triangolo BCI hanno la stessa base (CI) e la stessa altezza, quindi l’area del primo è il doppio di quella del secondo.
Il triangolo BCI ha però la stessa area del triangolo ACE, essendo AC e BC della stessa lunghezza, rispettivamente, di CI e CE (sono due lati dello stesso quadrato!).
Prendiamo adesso il quadrato BCED. Lo possiamo dividere in due rettangoli secondo il segmento AK. Noterete il rettangolo di destra così costruito ha la stessa base (CE) e la stessa altezza del triangolo ACE. Pertanto la sua superficie di questo rettangolo è il doppio di quella del triangolo ACE, ma quest’ultima è uguale a quella del triangolo BCI, che è la metà del quadrato AHCI!
Possiamo ripetere un discorso simile per il rettangolo sinistro di BCED, i triangoli FBC e ABD e il quadrato FGAB.
L’area del quadrato BCED è quindi uguale alla somma delle aree dei quadrati FGAB e AHCI.
Tutto chiaro?

Studenti (tutti, tranne una ragazza), in coro: Sì.

Professore: Non mi sembrate tutti convinti. Rivolto alla ragazza che era rimasta in silenzio. C’è qualche problema?

Studentessa: Sì, professore. Il suo disegno mi sembra eccessivamente complicato. Ci sono troppe linee, e non mi ci raccapezzo più.

Professore: Troppe linee?

Studentessa: Esattamente: ci sono troppe linee, troppe figure che si sovrappongono. Proprio non riesco a vedere la soluzione.

Professore: Capisco, ti lasci spaventare dal disegno e vai in confusione. Ma se provi a seguire la dimostrazione passo per passo, vedrai che tutto ti è chiaro. Il nostro obiettivo è dimostrare che i quadrati…

Studentessa: Aspetti, professore: non è necessario ripetere tutto! I singoli passaggi mi sono chiari, e capisco anche come tutti questi passaggi arrivino a dimostrare il teorema di Pitagora. Però non riesco a vedere la soluzione: il suo disegno nasconde la soluzione?

Professore: Come nasconde? Ho tracciato tutte e sole le linee necessarie alla dimostrazione!

Studentessa: Ma il suo disegno non dice nulla! Non è possibile, guardandolo, esclamare: “è vero, la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa!”

Professore: Continuo a non capire: perché mai uno dovrebbe esclamare una cosa simile? Per urlare si va allo stadio, cara ragazza, non nelle aule di matematica!

Studentessa: Ma io non voglio urlare, professore, voglio capire il teorema di Pitagora! E il suo disegno non mi aiuta, in questo.

Professore: Come non ti aiuta? Ma se hai detto che riesci a seguire tutta la mia dimostrazione? Proprio non capisco i tuoi vaneggiamenti!

Studentessa: È appunto questo il problema, professore: capire. Io seguo la sua dimostrazione, e mi convinco che il teorema di Pitagora è valido. Ma è una convinzione, non una comprensione. So che il teorema è valido, ma mi piacerebbe tanto anche vederlo.

Professore: E come pensa di fare, a vedere un teorema?

Dimostrazione Visiva del Teorema di PitagoraStudentessa: A dire il vero non lo so. Però si potrebbe… Inizia a tracciare alcuni disegni su un foglio, e dopo pochi secondi mostra il risultato al professore. Ecco, guardi qui, professore. Qui si riesce a vedere il teorema di Pitagora: da qui è chiaro che il quadrato costruito sul cateto maggiore più il quadrato costruito sul cateto minore è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa. Chiaro e semplice, no?

Professore: Guarda incuriosito il disegno. Sì, in effetti, devo riconoscere che… è chiaro ed è semplice. Ma non è una dimostrazione!

Studentessa: Non dimostra, ma mostra. E forse è meglio: perché ricorrere ad assurdi e complicati schemi, se si possono avere disegni così semplici?

Professore: La matematica non è una disciplina artistica, mia cara. La matematica è rigore, è logica, è dimostrazione. I tuoi disegni non servono a nulla, in matematica.

Studentessa: Come fa ad esserne così sicura? Magari Pitagora ha scoperto il teorema proprio attraverso un disegno simile, e solo successivamente ha costruito il suo orribile disegno!

Professore: Può essere. Ma questo è un problema che riguarda Pitagora e la storia della matematica, non la matematica in sé. Ripeto: quel disegno è inutile: molto meglio le dimostrazioni, che sono certe e sicure, come la matematica deve essere.

Studentessa: Che strana cosa, la matematica in sé, se può fare a meno dei matematici!

Professore: Ma cosa vai dicendo! Se non la smetti, mi vedrò costretto a darti una insufficienza. Via, la matematica senza matematici! Che assurdità!

Studentessa: Ma è quello che ha appena detto lei, con la distinzione tra matematica e storia della matematica!

Professore: Vedo che continui ad insistere. Ti avevo avvisato! Vedremo cosa dirà tuo padre, quando vedrà una bella insufficienza in matematica!

Studentessa: Mio padre? Com’è vero che si chiama Ludovico, non credo ci rimarrà male, quando gli racconterò la conversazione.

La dimostrazione del professore è quella solitamente presentata in tutti o quasi i testi di geometria, e risale ad Euclide. Il disegno della Studentessa è invece opera di Henry Perigal. Le illustrazioni sono tratte da wikipedia.

10 pensieri su “Mostra e dimostra

  1. “Il ragionamento, grosso modo e in forma vagamente sillogistica, è il seguente: il teorema di Pitagora è sempre vero, anche se si pensa ad altro o se si crede nella sua falsità”

    Falso. Il teorema di Pitagora è vero se e solo se si assumono gli assiomi della geometria euclidea come veri.
    Il teorema di Pitagora ha la stessa “realtà” di un ragionamento con delle premesse postulate. Non è “vero sempre e comunque” (ciò non toglie che sia affascinante, perchè semplice nell’enunciato ma non intuitivamente “visibile” o utile nella geometria euclidea e nell’analisi emprica di situazioni che si possono schematizzare come ecuclidee).

  2. Il teorema di Pitagora è vero se e solo se si assumono gli assiomi della geometria euclidea come veri.

    Giusto. Però, una volta assunti questi assiomi, non è che debba pensarci intensamente tutto il tempo, altrimenti il teorema di Pitagora perde di validità. Tra cinque minuti non penserò più alle aree dei quadrati costruiti sui lati dei triangoli né agli assiomi euclidei, eppure il teorema continuerà a valere lo stesso.

  3. “Giusto. Però, una volta assunti questi assiomi, non è che debba pensarci intensamente tutto il tempo, altrimenti il teorema di Pitagora perde di validità.
    Tra cinque minuti non penserò più alle aree dei quadrati costruiti sui lati dei triangoli né agli assiomi euclidei, eppure il teorema continuerà a valere lo stesso.”

    Non vedo perchè dovrebbe. Ogni volta che riprenderai in mano il teorema di Pitagora,accettando gli assiomi arriverai a dimostrarlo. Ma questo non significa che il Teorema di Pitagora esista in un “mondo ideale” indipendentemente dal tuo pensiero. Il teorema di Pitagora richiede la razionalità ,che è una delle regole con cui parti del tuo pensiero funzionano, uno schema che il tuo penisiero usa, dovuto alla conformazione del tuo cervello che a sua volta è dovuta all’evoluzione (come gli schemi generali del software del tuo computer sono dovuti al suo hardware).

  4. Kirbmarc, il teorema di Pitagora non è la tesi del teorema di Pitagora. Quel che è “sempre vero” è proprio l’implicazione che lega le ipotesi alla tesi. E il legame non puoi inventartelo, è lì e puoi solo scoprirlo. Riscoprirlo. Vederlo in un caso concreto (perchè il disegno della ragazza non dimostra niente, a meno di spiegare come rifare il disegno per un qualsiasi triangolo rettangolo). E anche dimenticarlo. Ma il legame di necessità che lega le ipotesi alla tesi resta.
    Certo è un legame fra convenzioni (la definizione di triangolo, di rettangolo, di quadrato…), e dunque non volgio impegnarmi ontologicamente nel pretendere una sua qualche esistenza “da qualche parte”, ma ricordiamoci che il legame, lui, non è una convenzione.

  5. “Quel che è “sempre vero” è proprio l’implicazione che lega le ipotesi alla tesi.”

    Anche l’implicazione segue delle regole.
    Come ho già scritto, queste regole sono regole che riguardano il funzionamento del cervello umano, e provengono da un “supporto materiale” (il cervello) che a sua volta dipende dall’universo in cui si trova.

    E’ indubbio che , essendo la razionalità una regola del cervello umano (e probabilmente, dei cervelli intelligenti di questo universo) il “tragitto” dalle ipotesi alle tesi sia sempre lo stesso. Ma questo non garantisce che, in un cervello originatosi in un universo diverso arriverebbe alle medesime conclusioni (anche se, probabilmente, un cervello di un universo diverso non sarebbe “intelligente” nel senso vago che noi diamo a questa parola).

  6. Sull’anteprima, mi torna tutti, purtroppo. C’è qualcosa che blocca lo script di anteprima, ma non capisco cosa 🙁

    Kirbmarc: mi parli di cervelli originatisi in diversi universi… una simile ipotesi io la tengo più come monito che come ipotesi di lavoro: cosa si può dire di simili cervelli? Niente, e quindi mi tengo il mio cervello con la mia logica e il mio teorema di Pitagora come sempre veri (nel mondo di noi umani, che non potendone avere altri è l’unico mondo).

    hronir: lo so che il disegno non dimostra nulla! Lo ha anche ben chiaro Schopenhauer, dal quale ho copiato l’idea ho preso ispirazione 😉

  7. Le regole di cui parli, Kirbmarc, sono quelle della logica formale, che possiamo ridurre anch’esse a convenzioni, ma il legame fra queste convenzioni e le convenzioni sulle ipotesi e la tesi del teorema di pitagora, è necessario e indipendente dai nostri cervelli…

Lascia un commento