Ivo Silvestro
Immaginate due bicchieri della medesima grandezza: il primo, per gli amici primo, è pieno d’acqua; il secondo, che chiameremo secondo, pieno di vino.
Con un cucchiaio si preleva da primo una certa quantità d’acqua e la si versa in secondo. Dopo aver mescolato bene il contenuto del bicchiere, si compie l’operazione inversa: con il cucchiaio si preleva da secondo la stessa quantità di liquido di prima e la si versa in primo.
Alla fine i due bicchieri conterranno la stessa quantità di liquido iniziale. Primo sarà pieno di acqua con un po’ di vino, mentre secondo sarà pieno di vino con un po’ d’acqua.
La domanda è: ci sarà più acqua nel vino o vino nell’acqua?
La soluzione è inaspettatamente semplice, e ovviamente va argomentata. I dettagli nei commenti.
Hmm, uguali.
Se prelevo dall’acqua un quarto del bicchiere e lo metto nel vino, il vino conterrà un quinto d’acqua pura, cioè il 20%. Se poi dal vino prelevo la stessa quantità di liquido, questa non sarà pura ma avrà un quinto d’acqua.
La stessa quantità sarà per il bicchiere di acqua un terzo del contenuto momentaneo ma un quarto del contenuto finale, cioè il 25%, equivalenti a 5% di acqua e 20& di vino, giacché un quinto di 25% è appunto il 5%.
Quindi, alla fine l’acqua avrà 20% di vino e il vino 20& di acqua.
Giusto? ciao, Eno
Giusto.
Ma c’è una soluzione ancora più semplice…
La butto lì…
Perchè è irrilevante la quantità di liquido che si sposta da una parte all’altra e viceversa.
Quindi, in ogni caso, è come se mescolassimo i due bicchieri e poi, successivamente, li dividessimo.
Il vino e’ fatto per il 90% di acqua. Quindi, ci sara’ piu’ acqua nel vino che vino nell’acqua.
No, scusa, siccome col primo cucchiaio hai diluito il vino, la quantita’ di vino che riporti indietro sara’ meno concentrata. Quindi, comunque, ci sara’ piu’ acqua nel vino che vino nell’acqua.
Il vino è da intendersi sostanza pure e non composta. Puoi fare finta che sia olio, anche se ovviamente è impossibile mescolare l’acqua con l’olio.
Rifo il commento!!!
Sono uguali perchè è irrilevante la quantità di liquido che si sposta da una parte all’altra e viceversa.
Così come mescolando i due bicchieri e poi dividendoli completamente si ottiene una diluizione equa, allo stesso modo il procedimento con quantità inferiori darà un risultato analogo, ma diverso per entità.
Non credo che l’ultimo ragionamento sia valido, anche se è vero il risultato.
Il problema può anche essere risolto con una funzione( se uno vuole farsi male ), e due funzioni posso avere lo stesso limite per un certo valore pur essendo diverse con valori inferiori al valore limite.
Bisognerebbe prima mostrare che se è valido per il bicchiere intero vale anche per quantità minori, appurare che vale per il bicchiere intero e poi trarre la conclusione.
Scusate se cavillo… buon cena! Eno
Eno, l’obiezione che fai è corretta.
Purtroppo non sono in grado di andare oltre…
Mi chiedo solo fino a quando, il padrone di casa, ci terrà sulle spine?
Saluti
Ciao, sto facendo i calcoli algebrici e mi pare che siano uguali.
Non dare la risposta che cerco di postare il ragionamento…
Maledetto! i calcoli algebrici sono complicati e lunghi. Non impossibili ma lunghi. Ho fatto un test “statistico” e sono uguali (primo commento di eno….). Poi ho un ragionamento piu’ semplice: se il cucchiaio e’ molto piccolo le due quantita’ reciprocamente mescolate saranno uguali (prossime allo zero), se il cucchiaio e’ grande come il bicchiere, la prima cucchiaiata mescolera’ completamente i contenuti ed ancora le due quantita’ reciprocamente mescolate saranno uguali. Quindi, per interpolazione, anche per cucchiai di grandezza intermedia le quantita’ reciproche saranno uguali.
Oggi alle due darò la soluzione semplice (24 ore esatte dopo la pubblicazione)
Uff… manca ancora un’ora e mezza…
Ci sono due metodi per risolvere il problema.
Il primo riguarda le concentrazioni: i due bicchieri contengono la quantità x di liquido, il cucchiaio y (ovviamente y < x).
Secondo, alla fine del primo travaso, avrà un rapporto acqua/vino y/(x+y).
Primo, alla fine del secondo travaso, avrà un rapporto vino/acqua di (y*(1-y/(x+y)))/x, che corrisponde a y/(x+y).
Il calcolo è relativamente complicato, e ci si perde facilmente se non si ha carta e penna a disposizione. E qui arriva il secondo metodo, molto più semplice.
I. Nulla si crea e nulla si distrugge, ma tutto si sposta da un bicchiere all’altro.
II. I due bicchieri contengono la stessa quantità di liquido all’inizio e alla fine dell’esperimento.
III. La quantità d’acqua che manca a primo deve corrispondere alla quantità di vino che vi è aggiunta, e lo stesso vale per secondo (invertendo acqua e vino, ovviamente). Quindi le due concentrazioni sono identiche, e lo saranno per quanti passaggi si possano fare, sempre che il sistema rimanga “chiuso” e i due bicchieri contengano alla fine la stessa quantità di liquido.
Grazie!
Dopo tanti calcoli … lo immaginavo che era una risposta da filosofo!!!!
Uhmmm… c’è qualcosa che non mi torna. Tu scrivi:
“III. La quantità d’acqua che manca a primo deve corrispondere alla quantità di vino che vi è aggiunta, e lo stesso vale per secondo (invertendo acqua e vino, ovviamente). Quindi le due concentrazioni sono identiche, e lo saranno per quanti passaggi si possano fare, sempre che il sistema rimanga “chiuso” e i due bicchieri contengano alla fine la stessa quantità di liquido.”
Ma questo non implica solo che le due concentrazioni siano complementari piuttosto che uguali, cioè che se un bicchiere ha x di vino e y di acqua, l’altro deve avere x di acqua e y di vino? (A ogni numero pari di passaggi del cucchiaino, ovviamente.)
La domanda dell’indovinello era: ci sarà più acqua nel vino o vino nell’acqua?
Le concentrazioni a cui mi riferisco sono acqua/vino per il bicchiere originariamente pieno di vino e vino/acqua per quello originariamente pieno di acqua.
Ora mi è chiaro, grazie.