Una botte ha quattro rubinetti d’uscita, disposti uno sopra l’altro. La distanza tra due rubinetti successivi è tale da dividere la capacità della botta in quattro parti uguali. Il rubinetto iù basso è sul fondo della botte.
Agendo separatamente, il rubientto più in alto svuota un quarto della botte in 1 giorno. Il secondo rubinetto svuota un quarto della botte in 2 giorni. Il terzo rubinetto svuota un quarto in 3 giorni e il rubinetto sul fondo svuota il suo quarto di botte in 4 giorni.
Se si aprono contemporaneamente i quattro rubinetti, quanto tempo occorrerà affinché la botte si svuoti?
Problema posto da Leonardo Fibonacci nella terza parte del XII capitolo del Liber Abaci (tratto da Pietro Nastasi (a cura di), Giochi matematici del medioevo, Bruno Mondadori, 2006 pag. 35).
Postuliamo che il rapporto tra quarto di litro e tempo di fuoriuscita di ogni buco sia un rapporto costante e che l’azione di quelli superiori non influenzi il getto di quelli inferiori( spero sia così, magari per una pompa, altrimenti dovrei pensarci un po’ per risolvere il problema… comunque è un quesito matematico, non fisico! ciò che non è specificato nelle premesse, non conta ).
Il primo rubinetto in alto A vuota 1/4 di litro al giorno, il secondo B 1/8 l/g , il terzo C 1/12 l/g , il quarto D 1/16 l/g.
All’inizio saranno attivi tutti e quattro, poi dopo aver vuotato la botte di un quarto solo i rubinetti B, C, D, dopo un altro quarto i rubinetti C e D ed infine solo il rubinetto D.
Tutti e quattro scaricano (12+6+4+3)/48 l/g, cioè 25/48 l/g, quindi 1/4 l lo vuotano in 12/25 giorni.
B, C e D scaricano (6+4+3)/48 l/g, cioè 13/48 l/g, quindi 1/4 l lo vuotano in 12/13 giorni.
C e D scaricano (4+3)/48 l/g, cioè 7/48 l/g, quindi 1/4 l lo vuotano in 12/7 giorni.
D scarica 3/48 l/g e quindi 1/4 lo vuota in 12/3.
12/25 + 12/13 + 12/7 + 12/3 g = sette giorni e qualcosa.
Spero che i conti siano giusti.
Ma non sono affatto sicuro che le mie premesse siano quelle che intendeva Fibonacci… il risultato è troppo sporco per essere un gioco matematico…
ciao, eno! 🙂
La risposta è, invece, “quasi” corretta anche se sporca.
“Quasi” perché per Fibonacci un giorno è composto da 12 ore, non 24 (e se vai a calcolare a quanto ammonta in ore e minuti quel “qualcosa” oltre i 7 giorni si ha un risultato molto diverso).
Il metodo è proprio quello usato da Fibonacci, che non prevede l’impiego di incognite ed equazioni (per il banale motivo che non esistevano) e quindi introduce una quantità fittizia (tu supponi che la botte contenga 1 litro, lui 48 barili, ma poco importa), ossia una incognita di fatto ma non di diritto.
Era questo l’aspetto che mi ha colpito di questo e altri giochi matematici di Fibonacci: la maturità di un metodo matematico potente ma privo della notazione che siamo soliti usare e considerare indispensabile.
7 giorni 1 ora 24 minuti e 30 secondi xD