Quantità silvestri

Niccolò Fontana, meglio noto come Niccolò Tartaglia, fu un famoso matematico italiano del ‘500. Nel trattato Quesiti et Inventioni diverse, pubblicato nel 1546, sono riportate le seguenti terzine:

Quando chel cubo con le cose appresso
Se agguaglia à qualche numero discreto
Trouan dui altri differenti in esso.

Dapoi terrai questo per consueto
Che’llor produtto sempre sia eguale
Alterzo cubo delle cose neto,

El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varra la tua cosa principale.

In el secondo de cotestiatti
Quando che’l cubo restasse lui solo
Tu osseruarai quest’altri contratti,

Del numer farai due tal part’à uolo
Che l’una in l’altra si produca schietto
El terzo cubo delle cose in stolo

Delle qual poi, per communprecetto
Torrai li lati cubi insieme gionti
Et cotal somma sara il tuo concetto.

El terzo poi de questi nostri conti
Se solue col secondo se ben guardi
Che per natura son quasi congionti.

Questi trouai, & non con paßi tardi
Nel mille cinquecentè, quatroe trenta
Con fondamenti ben sald’è gagliardi

Nella citta dal mar’intorno centa.

Tartaglia propone, in questa forma indubbiamente insolita, la soluzione generale delle equazioni del tipo x³+px=q. Un risultato molto importante, che, in notazione moderna, viene reso così:

Tuttavia, se p<0, nel calcolo possono apparire radici quadrate di numeri negativi e l’equazione appartiene al casus irriducibilis: non è possibile trovare soluzioni.
Nessun numero reale moltiplicato per se stesso può infatti fornire un risultato negativo e pertanto la radice quadrata, operazione inversa dell’elevazione a potenza, è in questo caso un concetto privo di senso.

Raffaele Bombelli sfidò il buon senso e provò a calcolare questa radice impossibile e introdusse le quantità silvestri più di meno (pdm) e meno di meno (mdm).
Vennero così introdotti i numeri complessi e l’unità immaginaria i (il pdm di Bombelli), con la quale si indica la radice quadrata di -1.
L’introduzione dell’unità immaginaria suona un po’ truffaldina: di fatto si è inventata la soluzione di una operazione impossibile. L’idea tuttavia ebbe successo e trovò applicazioni non solo in matematica, ma anche in fisica e in ingegneria.

Per superare le titubanze degli studenti, a volte si paragona la radice quadrata di un numero negativo alla divisione per zero. 1/0 è una operazione impossibile esattamente come : perché nel secondo caso è lecito barare e dire che , mentre nel primo non è possibile, ad esempio, introdurre =1/0?
La risposta, di solito, è la seguente: ammettere =1/0 porterebbe a gravi conseguenze, ad esempio rinunciare all’associatività della moltiplicazione:

Quindi l’introduzione di un risultato per 1/0 sarebbe una sterile invenzione, mentre per si tratta di una scoperta.

La risposa non convince.
Innanzitutto perché con i numeri complessi si è perso l’ordinamento: non può essere definito in generale un ordinamento nei numeri complessi, non ha senso chiedersi, dati due numeri complessi a e b, se a>b o b>a. Per quale motivo non si può rinunciare all’associatività ma all’ordinamento sì?
In secondo luogo: la differenza tra scoprire e inventare, ossia tra conoscere qualcosa che esiste indipendentemente da noi e costruire qualcosa che prima non c’era, si riduce semplicemente al successo?